Volgende: Nut en toepasbaarheid van Omhoog: Spiegeltje, spiegeltje aan de Vorige: Probleemstelling

Bewijs

Lemma 1. Een spiegel verwisselt voor- en achterkant.

Bewijs. In de natuurkunde heb je geleerd dat een spiegel een lichtstraal zo weerkaatst, dat hij lijkt te komen van achter de spiegel, zoals in figuur 1. Hier zie je een denkbeeldig object achter de spiegel, waarbij voor- en achterkant omgekeerd schijnen te zijn.

Figuur 1: Spiegelbeeld lijkt zich achter spiegel te bevinden.

Merk op dat we geen formule hebben gebruikt, maar dat er toch niet aan de conclusie valt te ontkomen. Daarmee is het bewijs in ieder geval formeel.

Lemma 2. Als je een object tweemaal spiegelt, dan is het originele object terug, modulo rotatie en translatie.

Bewijs. Wanneer je twee spiegels tekent en daarin lichtbanen zoals getrokken in figuur 2, dan kun je ook een schijnlichtbaan tekenen die recht verloopt, zoals met de onderbroken strepen is aangegeven -- of een spiegelbeeld ervan, maar het blijft een rechte lijn. Omdat dit voor elke lichtstraal te doen is, ongeacht de hoek tussen de spiegels, zal in het algemeen een tweemaal gespiegeld object verplaatst en eventueel geroteerd (bij andere hoeken dan 90 graden) schijnen maar zeker niet gespiegeld.

Figuur 2: Dubbele reflectie is geen reflectie.

Soms is de wiskunde niet bij machte, of vindt men het te triviaal, of is het te zeer een punt van overtuiging, om een bepaalde eigenschap te bewijzen. In zo'n geval wordt die eigenschap weleens als aanname opgevoerd. Dat zullen we hier ook doen.

Aanname 1. Een menselijk lichaam is symmetrisch in de links/rechts richting.

Noot: Symmetrie in een richting wil zeggen, dat spiegelen in die richting onopgemerkt blijft.

We kunnen nu de hoofdstelling formuleren.

Stelling. Een spiegel lijkt links en rechts van een mensenlichaam te verwisselen.

Bewijs. Uit lemma 1 leren we dat een spiegel voor en achter van een mensenlichaam verwisselt. Aangezien een mensenlichaam volgens aanname 1 symmetrisch is in de links/rechts richting, is een links/rechts spiegeling niet waarneembaar, ofwel kan naar wens aan een beeld worden toegedicht.

Wanneer we inderdaad een links/rechts verwisseling toedichten aan het mensenlichaam dat we zien in de spiegel, dan is er tweemaal gespiegeld en dus (lemma 2) is er weer een ongespiegeld mensenlichaam terug.

We kunnen dus straffeloos stellen dat een spiegel links en rechts verwisselt van een mensenlichaam.